Дмитрий Шутков — воспитанник «Шахтёра», всю игровую карьеру проведший в родном клубе. Голкипер дебютировал за первую команду ещё в чемпионате СССР и выступал за «горняков» с 1991 по 2008 год. На его счету 347 матчей во всех турнирах, включая 158 встреч без пропущенных мячей, что выводит его в десятку игроков клуба по количеству игр.

С «Шахтёром» Шутков выиграл четыре чемпионата Украины и шесть Кубков страны. После завершения выступлений он вошёл в штаб Мирчи Луческу как ассистент тренера вратарей, а с 2016 по 2021 год работал с голкиперами команды «Шахтёр» U21.

В июне 2021 года специалист присоединился к штабу созданной женской команды «Шахтёра» в качестве тренера вратарей. С сезона-2022/23 Дмитрий Шутков занимает должность первого ассистента главного тренера.