Сергей Ященко дебютировал за «Шахтёр» в 22 года и остался в донецком клубе до конца игровой карьеры. С 1982 по 1995 год полузащитник провёл на высшем уровне 444 матча, забив 40 голов. По количеству сыгранных встреч он занимает третье место в истории «горняков».

Первый трофей с «Шахтёром» Ященко выиграл в 1983 году. В финале Кубка СССР против харьковского «Металлиста» единственный мяч в первом тайме забил именно он, что принесло команде Виктора Носова победу. В 1985 и 1986 годах Сергей также доходил с дончанами до финалов турнира.

Позже Ященко стал капитаном команды. В 1994 году он завоевал с «Шахтёром» серебряные медали чемпионата, а в следующем сезоне поднял над головой Кубок Украины.