Андрей Пятов начал профессиональную карьеру в «Ворскле», а в 2007 году перешёл в «Шахтёр». За донецкий клуб голкипер отыграл 16 сезонов и провёл 482 матча — это третий результат в истории команды. Вместе с «горняками» он завоевал 28 трофеев, установив клубный рекорд, а также сыграл 102 встречи за сборную Украины.

Летом 2023 года Пятов завершил выступления и вошёл в тренерский штаб «Шахтёра». В качестве тренера вратарей он работал с командами Патрика ван Леувена, Дарийо Срны и Марино Пушича. С 27 мая 2025 года продолжает работу в штабе Арды Турана.