Первые футбольные навыки Ростислав Баглай получил в КЗ ДЮСШ «Рух». Позднее вратарь перешёл в академию «Шахтёра», где стал частью команды U16 и вместе с ней выиграл чемпионат Украины.

Дебют голкипера за «Шахтёр» U19 состоялся, когда ему было 16 лет. Параллельно он участвовал в тренировках основного состава донецкого клуба и вызывался в юношескую сборную Украины U18.