Ираклий Азаров родился 21 февраля 2002 года в Батуми. Первые серьёзные шаги в футболе сделал в академии тбилисского «Динамо». Уже в 17 лет защитник впервые вышел на поле в составе главной команды столичного клуба и вскоре закрепился во взрослом футболе.

В январе 2021 года Азаров продолжил карьеру в батумском «Динамо». За время выступлений в Грузии он трижды выигрывал национальное первенство — в 2019, 2020 и 2021 годах. Следующим этапом стал переход в белградскую «Црвену Звезду»: в сезоне-2022/23 Ираклий стал чемпионом Сербии. Также он играл на молодёжном чемпионате Европы 2023 года, а дебют за национальную сборную Грузии состоялся 2 июня 2021 года.

22 августа 2023 года футболист подписал с донецким «Шахтёром» пятилетний контракт. Азаров действует на левом фланге обороны, сочетая скорость с хорошей работой с мячом. Он надёжно участвует в защите, охотно поддерживает атаки, способен отдать точную передачу и завершить эпизод ударом.