Денис Твардовский родился 13 июня 2003 года в Черновцах. Первые футбольные навыки будущий вратарь получил в системе местной «Буковины», где прошёл начальный этап подготовки.

Позднее голкипер продолжил развитие в Академии «Шахтёра»: к команде горняков он присоединился на уровне U14. В юношеском футболе Денис дважды становился чемпионом Украины — с командами U15 и U16.

Твардовский отличается подходящими для вратаря физическими данными и уверенной работой на линии ворот. Он выступает за первую команду «Шахтёра» под номером 48.